Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( { – 1;2;1} \right);A\left( {1;2; – 3} \right)\,\)và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 5}}{2} = \frac{z}{{ – 1}}.\) Tìm vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \,\) của đường thẳng \(\Delta \) đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất.
-
A.
\(\overrightarrow u = \left( {4; – 3;2} \right)\) -
B.
\(\,\overrightarrow u = \left( {1;0;2} \right)\) -
C.
\(\overrightarrow u = \left( {2;0; – 4} \right)\) -
D.
\(\overrightarrow u = \left( {2;2; – 1} \right)\)
Đáp án đúng: A
Phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d là:
\(2x + 2y – z – 1 = 0\left( \alpha \right)\,\)khi đó \(\left( \alpha \right)\)chứa \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống \(\left( \alpha \right)\) và N là hình chiếu của A xuống \(\Delta \) ta có: \(AH \le AN \le AM\). Khi đó \(A{N_{\max }} \Leftrightarrow N \equiv M\)
Khi đó \(\Delta \bot d;\Delta \bot AM \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { – 8;6; – 4} \right) = – 2(4; – 3;2).\)