Câu hỏi:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua \(A\left( {1; – 1;2} \right)\), song song với mp \(\left( P \right):2x – y – z + 3 = 0\), đồng thời tạo với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}} = \frac{z}{2}\) một góc bé nhất. Phương trình của đường thẳng d là:
-
A.
\(\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{{ – 5}} = \frac{{z + 2}}{7}\) -
B.
\(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 5}} = \frac{{z – 2}}{7}\) -
C.
\(\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z – 2}}{7}\) -
D.
\(\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{{ – 5}} = \frac{{z – 2}}{{ – 7}}\)
Đáp án đúng: B
Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} \left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 2a – b – c = 0 \Rightarrow c = 2a – b\)
Khi đó \(\cos \left( {d;\Delta } \right) = \frac{{\left| {5a – 4b} \right|}}{{3\sqrt {5{a^2} – 4ab + 2{b^2}} }} = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{{{\left( {5a – 4b} \right)}^2}}}{{5{a^2} – 4ab + 2{b^2}}}} \) .
Ta có: \(0 \le \widehat {\left( {d;\Delta } \right)} \le {90^0}\) suy ra \(\widehat {\left( {d;\Delta } \right)}\) bé nhất khi \(\cos \left( {d;\Delta } \right)\) lớn nhất.
Đặt \(t = \frac{a}{b}\) ta có hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{{{\left( {5t – 4} \right)}^2}}}{{5{t^2} – 4t + 2}}\)
\(f'(t) = \frac{{4(5t – 4)(5t + 1)}}{{{{\left( {5{t^2} – 4t + 2} \right)}^2}}}\)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{4}{5}\\t = – \frac{1}{5}\end{array} \right.\)
Bảng biên thiên:
\( \Rightarrow \min f\left( t \right) = f\left( { – \frac{1}{5}} \right)\) khi \(t = \frac{a}{b} = – \frac{1}{5}\)
Khi đó chọn \(a = 1;b = – 5 \Rightarrow c = 7\)
Vậy phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 5}} = \frac{{z – 2}}{7}.\)