Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), cho hình cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 6x – 2y – 4z – 11 = 0\) và mặt phẳng \(2x + 2y – z + 3 = 0\) cắt nhau theo hình tròn (C). Tính diện tích toàn phần của hình nón có đỉnh là tâm (S) của và đáy là hình tròn (C).
-
A.
\(V = 36\pi \) -
B.
\(V = 25\pi \) -
C.
\(V = 24\pi \) -
D.
\(V = 49\pi \)
Đáp án đúng: A
Ta có: \(\left( S \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25 \Rightarrow \left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;1;2} \right)\) có bán kính R = 5.
Khoảng cách từ I đến hình tròn (C) là \(d = \frac{{\left| {2.3 + 2.1 – 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = 3\)
Bán kính hình tròn (C) là \(r = \sqrt {{R^2} – {d^2}} = \sqrt {{5^2} – {3^2}} = 4\)3
Hình nón có chiều cao bằng \(d = 3\) và bán kính đáy bằng \(r = 4\)3
Đường sinh của hình trụ là \(l = \sqrt {{r^2} + {d^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\).
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi rl = \pi {.4^2} + \pi .4.5 = 36\pi .\)