Câu hỏi:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos \left( {a – x} \right)dx} \)
-
A.
\(I = \left( {1 – \frac{\pi }{2}} \right){\rm{cos}}a + \sin a\) -
B.
\(I = \left( {1 – \frac{\pi }{2}} \right){\rm{cos}}a – \sin a\) -
C.
\(I = \left( {\frac{\pi }{2} – 1} \right){\rm{cos}}a + \sin a\) -
D.
\(I = \left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right){\rm{cos}}a – \sin a\)
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi TN THPT QG năm 2021
Đáp án đúng: C
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \cos \left( {a – x} \right)dx
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = – \sin \left( {a – x} \right)
\end{array} \right.\)
Do đó
\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos \left( {a – x} \right)dx} \\
= \left. { – x\sin \left( {a – x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \left( {a – x} \right)dx} \\
= – \frac{\pi }{2}\sin \left( {a – \frac{\pi }{2}} \right) + \left. {\cos \left( {a – x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\
= \frac{\pi }{2}\cos a + \cos \left( {a – \frac{\pi }{2}} \right) – \cos a\\
= \left( {\frac{\pi }{2} – 1} \right)\cos a + \sin a
\end{array}\)