Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hàng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Câu hỏi:

Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hàng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Trả lời:

Gọi u_n là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n.

Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số (u_n) là một cấp số nhân có u₁ = 180 và công bội q = 1 + 5% = 1,05.

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là u₆ = u₁q⁵ = 180 . (1,05)⁵ ≈ 229,73 (triệu đồng).

====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 11 =====

1. Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hàng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hàng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiên vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hàng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hàng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiên vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

   Trả lời:

   Gọi u_n là số tiền (triệu đồng) mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ n (vào đầu tháng thứ n).

   Kí hiệu a = 0,5 triệu đồng, r = 0,5% .

   Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là u₁ = a.

   Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là

   u₂ = u₁(1 + r) + a = a(1 + r) + a.

   Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

   u₃ = u₂(1 + r) + a = a(1 + r)² + a(1 + r) + a.

   Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng n là

   u_n = a(1 + r)^{n – 1} + a(1 + r)^{n – 2} + … + a(1 + r) + a

   = a[(1 + r)^{n – 1} + (1 + r)^{n – 2} + … + (1 + r) + 1]

   = $a.\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{\left(1+r\right)-1}=a\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{r}$.  

   Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được

   $u_{180}=0,5.\frac{{\left(1+0,5\%\right)}^{180}-1}{0,5\%}$ ≈ 145,41 (triệu đồng).

   Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là 3 + 180 : 12 = 18 (tuổi).

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 11 =====
   
2. Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

   

   Trả lời:

   Gọi u_n là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

   Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

   Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

   Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}$ nên u₁ = $2.\frac{1}{2}.{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2^2}$ và độ dài cạnh hình vuông sau đó là $\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (sử dụng định lí Pythagore).

   Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $u_2=2.\frac{1}{2}.{\left(\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2^3}$.

   Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $u_3=\frac{a^2}{2^4}$.

   Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (u_n) là cấp số nhân với $u_1=\frac{a^2}{2^2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

   Với a = 16 cm thì u₁ = $\frac{{16}^2}{2^2}$ = 64 cm.

   Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là $S_5=u_1\frac{1-q^5}{1-q}=64.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^5}{1-\frac{1}{2}}$ = 124 (cm²).

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 11 =====
   
3. Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy m2 = p ∙ q. Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác m1, m2, …, mk sao cho p, m1, m2, …, mk, q lập thành một cấp số nhân thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy m² = p ∙ q. Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác m₁, m₂, …, m_k sao cho p, m₁, m₂, …, m_k, q lập thành một cấp số nhân thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy

   a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24;

   Trả lời:

   a) Theo định nghĩa, chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3 và u_{2 + 2} = u₄ = 24.

   Do tính chất của cấp số nhân nên u₄ = u₁q³ = 3q³ = 24. Suy ra q = 2.

   Khi đó u₂ = 3 . 2 = 6, u₃ = 6 . 12 = 12.

   Vậy chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân là: 3, 6, 12, 24.

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 11 =====
   
4. b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576.
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576.

   Trả lời:

   b) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân có u₁ = 2,25 và u_{2 + 3} = u₅ = 576.

   Do tính chất của cấp số nhân nên u₅ = u₁q⁴ = 2,25q⁴ = 576. Suy ra q = ± 4.

   + Với q = 4, ta có u₂ = 2,25 . 4 = 9; u₃ = 9 . 4 = 36; u₄ = 36 . 4 = 144.

   Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; 9; 36; 144; 576.

   + Với q = − 4, ta có u₂ = 2,25 . (− 4) = − 9; u₃ = (− 9) . (− 4) = 36; u₄ = 36 . (− 4) = − 144.

   Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; − 9; 36; − 144; 576.

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 11 =====