Xác định hình dạng tam giác ABC biết b3+c3−a3b+c−a=a2a=2bcosC

Câu hỏi:

Xác định hình dạng tam giác ABC biết $\left\{\begin{array}{c}\frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}=a^2\\ a=2b\cos C\end{array}\right.$

A. Tam giác tù

B. Tam giác vuông

C. Tam giác đều

Đáp án chính xác

D. Chưa đủ diều kiện để kết luận

Trả lời:

Đáp án CTheo định lí cosin ta có: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ thay vào đẳng thức thứ hai của hệ trên. Ta có:$a=2b\cos C=2b.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\Rightarrow a^2=a^2+b^2-c^2\iff b^2-c^2=0\iff b^2=c^2\iff b=c$Thay b = c vào hệ thức thứ nhất ta có:$\frac{2b^3-a^3}{2b-a}=a^2\iff 2b^3-a^3=2b{a}^2-a^3\iff b^2=a^2\iff a=b$Do đó a = b = c. Vậy tam giác ABC đều

====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====

1. Cho tam giác ABC biết A−1;2,B2;0,C−3;1. Tìm tọa độ điểm M thuộc BC sao cho SABM=13SABC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC biết $A\left(-1;2\right),B\left(2;0\right),C\left(-3;1\right)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc BC sao cho $S_{ABM}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

   A. $M\left(3;\frac{1}{3}\right)$

   B. $M\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)$

   C. $M\left(1;1\right)$

   D. $M\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DGiả sử M(x; y) là điểm thỏa mãn điều kiện đề bài.Kẻ AH vuông góc với BC. Suy ra$\frac{1}{2}BM.AH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AH.BC\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\left(x-2;y\right)=\frac{1}{3}\left(-5;1\right)\iff \left\{\begin{array}{c}x-2=-\frac{5}{3}\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow M\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
2. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60∘. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc ${60}^{\circ }$. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

   A. $20\sqrt{13}$

   Đáp án chính xác

   B. $15\sqrt{13}$

   C. $10\sqrt{13}$

   D. 15

   Trả lời:

   Đáp án ATa có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: $S_1$ = 30.2 = 60km.Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: $S_2$ = 40.2 = 80km.Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là:$S=\sqrt{S_1^2+S_2^2-2S_1.S_2.\cos {60}^0}=20\sqrt{13}$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
3. Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc DA1C1^=490 và DB1C1^=350. Tính chiều cao CD của tháp
   
   

   Câu hỏi:
   

   Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm $A_1, B_1$ cùng thẳng hàng với $C_1$ thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc $\widehat{D{A}_1{C}_1}={49}^0$ và $\widehat{D{B}_1{C}_1}={35}^0$. Tính chiều cao CD của tháp

   A. 22,77m

   Đáp án chính xác

   B. 21,47m

   C. 20,47m

   D. 21,77m

   Trả lời:

   Đáp án ATa có:$\widehat{C_{1}D{A}_1}={90}^0-{49}^0={41}^0;\widehat{C_{1}D{B}_1}={90}^0-{35}^0={55}^0;$nên $\widehat{A_{1}D{B}_1}={14}^0$Xét tam giác $A_{1}D{B}_1$ có$\frac{A_1{B}_1}{\sin \widehat{A_{1}D{B}_1}}=\frac{A_{1}D}{\sin \widehat{A_1{B}_{1}D}}\Rightarrow A_{1}D=\frac{12.\sin {35}^0}{\sin {14}^0}\approx 28,45m$Xét tam giác $C_1{A}_{1}D$ vuông tại $C_1$, có:$\sin \widehat{C_1{A}_{1}D}=\frac{C_{1}D}{A_{1}D}\Rightarrow C_{1}D=A_{1}D.\sin \widehat{C_1{A}_{1}D}=28,45.\sin {49}^0\approx 21,47m$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
4. Cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh A (1; −3), B (3; −5), C (2; −2). Tìm tọa độ giao điểm E của BC với phân giác trong của góc A
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh A (1; −3), B (3; −5), C (2; −2). Tìm tọa độ giao điểm E của BC với phân giác trong của góc A

   A. E (−7; 3)

   B. E (7; 3)

   C. E (1; 1)

   D. $E (\frac{7}{3};-3)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DTa có: $A{B}^2=8,A{C}^2=2\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$Giả sử E (x; y) thuộc đoạn BC. Theo tính chất đường phân giác ta có:$\frac{EB}{AB}=\frac{EC}{AC}\Rightarrow \frac{EC}{EB}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{EB}}=-\frac{1}{2}\iff \left(2-x;-2-y\right)=-\frac{1}{2}\left(3-x;-5-y\right)\iff \left\{\begin{array}{c}2-x=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x\\ -2-y=\frac{5}{2}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{2}y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{7}{3}\\ y=-3\end{array}\right.\Rightarrow E\left(\frac{7}{3};-3\right)$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính cos góc giữa hai trung tuyến BE và CF
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính cos góc giữa hai trung tuyến BE và CF

   A. $\cos a=\frac{1}{5}$

   B. $\cos a=\frac{2}{5}$

   C. $\cos a=\frac{4}{5}$

   Đáp án chính xác

   D. Kết quả khác

   Trả lời:

   Đáp án CGọi a là góc tạo bởi hai trung tuyến BE, CFKhi đó $\cos a=\frac{\left|\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}\right|}{\left|\overrightarrow{BE}\right|\left|\overrightarrow{CF}\right|}$Sử dụng phân tích$\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\right)\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\right)=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AF}=0-\overrightarrow{AB}.\frac{\overrightarrow{AB}}{2}-\overrightarrow{AC}.\frac{\overrightarrow{AC}}{2}+0=-\frac{A{B}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{2}=-\frac{A{B}^2}{2}-\frac{A{B}^2}{2}=-A{B}^2$$BE=CF=\sqrt{A{B}^2+A{E}^2}=\sqrt{A{B}^2+\frac{A{B}^2}{4}}=AB\sqrt{\frac{5}{4}}$Từ đó suy ra $\cos a=\frac{A{B}^2}{A{B}^2\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====