Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ Oxy, cho elíp : E:x24+y2=1 và điểm C( 2;0) .Tìm tọa độ các điểm A; B  trên (E), biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và tam  giác ABC là tam giác đều và điểm A có tung độ dương .

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ Oxy, cho elíp : $\left(E\right):\frac{x^2}{4}+y^2=1$ và điểm C( 2;0) .Tìm tọa độ các điểm A; B  trên (E), biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và tam  giác ABC là tam giác đều và điểm A có tung độ dương .

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án A
Giả sử A( x₀ ; y₀) , Do A ; B đối xứng nhau qua Ox  nên B( x₀ ; -y₀).
Ta có:

Vì A thuộc (E)  nên:

Vì AB = AC nên:

Thay (1) vào (2)  ta được:

Vì điểm A  khác C và Acó tung độ dương nên:

====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====

1. Cho tam giác ABC  đều.Gọi D  là điểm đối xứng của C  qua AB.Vẽ đường tròn tâm D qua A, B và M là điểm bất kì trên đường tròn đóM≠A,M≠B Khẳng định nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC  đều.Gọi D  là điểm đối xứng của C  qua AB.Vẽ đường tròn tâm D qua A, B và M là điểm bất kì trên đường tròn đó$\left(M\ne A,M\ne B\right)$ Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. Độ dài MA; MB; MC  là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

   Đáp án chính xác

   B. MA, MB, MC là ba cạnh của 1 tam giác vuông.

   C. MA= MB= MC

   D. MC> MB> MA

   Trả lời:

   Đáp án A
   Chọn hệ trục Oxy  sao cho Ox trùng với AB , chiều dương hướng từ A đến B ,trục Oy là đường trung trực của đoạn AB =>
     
   Phương trình đường tròn tâm D  qua A; B là:
   
   Giả sử M(a;b) là điểm bất kì trên đường tròn  .Ta có :
   MA²= (a+ 1) ²+ b²
   MB²= (a-1) ²+ b²
   
   
   + M nằm trên đường tròn (1)  nên : 
   => MA²+ MB²= MC²
    => MA; MB; MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
   

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy  cho ba điểm A(0;a) : B( b;0) và C(-b;0)  với a; b > 0.Viết phương trình đường tròn (C)  tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy  cho ba điểm A(0;a) : B( b;0) và C(-b;0)  với a; b > 0.Viết phương trình đường tròn (C)  tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C.

   

   

   Đáp án chính xác

   

   

   Trả lời:

   Đáp án B
   Do đường tròn (C)  tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C
   Nên tam giác ABC  cân tại A
   tâm I của (C)  thuộc Oy nên I(0; y₀)
   
   Do:
   
   Mặc khác:
   
   Vậy phương trình của là:
   

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho phương trình hai đường tròn (C): x2+ y2- 2x -2y +1= 0 và (C’) : x2+ y2+ 4x -5 = 0 cùng đi qua M( 1;0) .Viết phương trình đường thẳng d  qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A; B sao cho MA= 2 MB.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho phương trình hai đường tròn (C): x²+ y²– 2x -2y +1= 0 và (C’) : x²+ y²+ 4x -5 = 0 cùng đi qua M( 1;0) .Viết phương trình đường thẳng d  qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A; B sao cho MA= 2 MB.

   A. 6x+ 6+ y= 0 hoặc -6x+ y- 6= 0

   B. 2x+ 3y + 6= 0 hoặc 3x-2y + 3= 0

   C. 2x+ y- 6= 0 hoặc x+ y- 6 = 0

   D. x+ y – 1= 0 hoặc 36x –y-36= 0

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Gọi d  là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:
   
   – Đường tròn (C) tâm I₁ (1;1) và R₁= 1
     Đường tròn (C’) : tâm I₂( -2;0) và R₂= 3
   – Nếu d cắt  (C) tại A :
   
   $\Rightarrow \overrightarrow{MA}\left(\frac{2ab}{a^2+b^2};\frac{2b^2}{a^2+b^2}\right)$
   – Nếu d cắt (C₂)  tại B:
   
   $\Rightarrow \overrightarrow{MB}\left(–\frac{6a^2}{a^2+b^2};–\frac{6ab}{a^2+b^2}\right)$
   – Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA²= 4 MB² (*)
   – Ta có :
   
   $\iff a^2{b}^2+b^4=36a^4+36a^2{b}^2\iff 36a^4+35a^2{b}^2–b^4=0$
   $\iff \left[\begin{array}{c}a=–b\\ a=\frac{b}{36}\end{array}\right.$
   Với a = -b, chọn b = -1 $\Rightarrow a=1\Rightarrow d: \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=–t\end{array}\right.\iff x+y–1=0$
   Với $a=\frac{b}{36}$, chọn b = 36 $\Rightarrow a=1\Rightarrow d: \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=36t\end{array}\iff 36x–y–36\right.=0$
    

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
4. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình (C1) : x2+ y2- 4y  -5 = 0 và (C2) : x2+ y2- 6x + 8y +16= 0 .  Phương trình nào sau đây là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình (C₁) : x²+ y²– 4y  -5 = 0 và (C₂) : x²+ y²– 6x + 8y +16= 0 .  Phương trình nào sau đây là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.

   

   

   

   D. Đáp án khác.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   – Ta có :
   (C₁) tâm I₁(0;2) và R₁= 3; (C₂) tâm I₂( 3;-4) và R₂= 3
   – Nhận xét :  không cắt C₂
   – Gọi d: ax+ by+ c= 0  là tiếp tuyến chung , thế thì : d(I₁; d) = R₁ và d (I₂; d) = R₂
   
   
   
   – Trường hợp: a= 2b thay vào (1):
   
   $\left[\begin{array}{c}b=\frac{\left(2+3\sqrt{5}\right)c}{41}\\ b=\frac{\left(2–3\sqrt{5}\right)c}{41}\end{array}\right.$
   – Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :
   Với $b=\frac{\left(2+3\sqrt{5}\right)c}{41},$chọn c = 41 thì $b=2+3\sqrt{5}, a=2\left(2+3\sqrt{5}\right)$, khi đó phương trình đường thẳng d là: 
   $2\left(2+3\sqrt{5}\right)x+\left(2+3\sqrt{5}\right)y+41=0$.
   Với $b=\frac{\left(2–3\sqrt{5}\right)c}{41}$, chọn c = 41 thì $b=2–3\sqrt{5}, a=2\left(2–3\sqrt{5}\right)$, khi đó phương trình đường thẳng d là:
   $2\left(2–3\sqrt{5}\right)x+\left(2–3\sqrt{5}\right)y+41=0$.
   – Trường hợp :  thay vào  :  $\frac{\left|2b+\frac{2b–3a}{2}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\iff \left|2b–a\right|=2\sqrt{a^2+b^2}$
   $\iff {\left(2b–a\right)}^2=4\left(a^2+b^2\right)\iff 3a^2+4ab=0$
   $\left[\begin{array}{c}a=0\Rightarrow c=b\\ a=–\frac{4b}{3}\Rightarrow c=2b\end{array}\right.$
   Với a= 0, c = b, chọn b = 1 $\Rightarrow c=1$ thì phương trình đường thẳng d là: y+1=0
   Với $a=–\frac{4b}{3}\Rightarrow c=2b$, chọn b = -3 $\Rightarrow$a = 4, c = -6 thì phương trình đường thẳng d là: 4x – 3y – 6 = 0
   Có tất cả 4 tiếp tuyến chung.

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
5. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn: (C1) : (x -5) 2+ (y+12) 2= 225 và  (C2) : (x-1)2+ (y-2)2= 25.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn: (C₁) : (x -5) ²+ (y+12) ²= 225 và  (C₂) : (x-1)²+ (y-2)²= 25.

   A. $d:\frac{14+10\sqrt{7}}{21}x+y+\frac{203–10\sqrt{7}}{21}=0$ hoặc d:$\frac{14+10\sqrt{7}}{21}x–y+\frac{203+10\sqrt{7}}{21}=0$

   B. d: $\frac{14–10\sqrt{7}}{21}x–y+\frac{203–10\sqrt{7}}{21}=0$ hoặc d: $\frac{14+10\sqrt{7}}{21}x–y+\frac{203+10\sqrt{7}}{21}=0$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{14–10\sqrt{7}}{21}x+y+\frac{175–10\sqrt{7}}{21}=0$ hoặc $\frac{14+10\sqrt{7}}{21}x+y+\frac{175–10\sqrt{7}}{21}=0$

   D. d: $\frac{14–10\sqrt{7}}{21}x+y+\frac{203–10\sqrt{7}}{21}=0$ hoặc d: $\frac{14+10\sqrt{7}}{21}x+y+\frac{203+10\sqrt{7}}{21}=0$

   Trả lời:

   Đáp án B
   – Ta có (C₁) với tâm  I(5; -12) và R= 15.
    (C₂) có tâm J( 1;2)  và R’ =5 .
    Gọi d  là tiếp tuyến chung có phương trình: ax+ by+ c= 0 ().
   – Khi đó ta có :
   
   – Từ (1) và (2) suy ra :
   
   Thay vào (1):
   Ta có hai trường hợp :
   – Trường hợp : c = a-9b thay vào (1):
   (2a- 7b)²= 25 (a²+ b²)  
   hay 21a²+ 28ab -24b²= 0
   $\left[\begin{array}{c}a=\frac{–14+10\sqrt{7}}{21}b\\ a=\frac{–14–10\sqrt{7}}{21}b\end{array}\right.$
   Với $a=\frac{–14+10\sqrt{7}}{21}b,$ chọn b =-1 thì $a=\frac{14–10\sqrt{7}}{21}\Rightarrow c=\frac{203–10\sqrt{7}}{21}$
   Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\frac{14–10\sqrt{7}}{21}x–y+\frac{203–10\sqrt{7}}{21}=0$
   Với $a=\frac{–14–10\sqrt{7}}{21}b,$ chọn b =-1 thì $a=\frac{14+10\sqrt{7}}{21}\Rightarrow c=\frac{203+10\sqrt{7}}{21}$
   Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\frac{14+10\sqrt{7}}{21}x–y+\frac{203+10\sqrt{7}}{21}=0$
   – Trường hợp $c = –2a + \frac{3}{2}b$
   (1) => ( 7b- 2a)²=100(a²+b²) hay 96a²+ 28ab + 51b²= 0
    Vô nghiệm.
   Vậy 2 đường tròn đã cho có 2 tiếp tuyến chung.

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====