Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma, mb, mc thỏa mãn 5ma2=mb2+mc2. Khi đó tam giác này là tam giác gì?

Câu hỏi:

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến $m_a, m_b, m_c$ thỏa mãn $5m_a^2=m_b^2+m_c^2$. Khi đó tam giác này là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác đều

C. Tam giác vuông

Đáp án chính xác

D. Tam giác vuông cân

Trả lời:

Đáp án C
Ta có: $\left\{\begin{array}{c}{m}_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\\ m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\\ m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\end{array}\right.$Mà: $5m_a^2=m_b^2+m_c^2$$\Rightarrow 5\left(\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\iff 10b^2+10c^2-5a^2=2a^2+2c^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2\iff b^2+c^2=a^2$$\Rightarrow$ tam giác ABC vuông

====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====

1. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức bb2−a2=ca2−c2. Khi đó góc BAC^ bằng bao nhiêu độ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức $b\left(b^2-a^2\right)=c\left(a^2-c^2\right)$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ bằng bao nhiêu độ?

   A. ${30}^{\circ }$

   B. ${45}^{\circ }$

   C. ${60}^{\circ }$

   Đáp án chính xác

   D. ${90}^{\circ }$

   Trả lời:

   Đáp án CTheo định lí hàm cosin, ta có:$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$Mà $b\left(b^2-a^2\right)=c\left(a^2-c^2\right)$$\iff b^3-a^{2}b=a^{2}c-c^3\iff -a^2\left(b+c\right)+\left(b^3+c^3\right)=0\iff \left(b+c\right)\left(b^2+c^2-a^2-bc\right)=0$ $\iff b^2+c^2-a^2-bc=0$ (do b > 0, c > 0)$\iff b^2+c^2-a^2=bc$Khi đó, $\cos \widehat{BAC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{BAC}={60}^0$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
2. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và A^=600. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và $\widehat{A}={60}^0$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

   A. R = 3

   Đáp án chính xác

   B. $R=3\sqrt{3}$

   C. $R=\sqrt{3}$

   D. R = 6

   Trả lời:

   Đáp án AÁp dụng định lí cosin, ta có:$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos \widehat{BAC}=3^2+6^2-\mathrm{2.3.6.}\cos {60}^0=27\Rightarrow B{C}^2=27\Rightarrow B{C}^2+A{B}^2=A{C}^2$Suy ra tam giác ABC vuông tại B, do đó bán kính $R=\frac{AC}{2}=3$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
3. Tam giác vuông cân tại A có AB = 2a. Đường trung tuyến BM có độ dài là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác vuông cân tại A có AB = 2a. Đường trung tuyến BM có độ dài là:

   A. 3a

   B. $2a\sqrt{2}$

   C. $2a\sqrt{3}$

   D. $a\sqrt{5}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D+ Ta có: AB = AC = 2a+ Ta có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{4a^2+4a^2}=2\sqrt{2}a$$M{B}^2=\frac{B{C}^2+A{B}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{4}=\frac{8a^2+4a^2}{2}-\frac{4a^2}{4}=5a^2\Rightarrow MB=a\sqrt{5}$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
4. Tam giác ABC cân tại C, có AB = 9cm và AC=152cm. Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính độ dài cạnh AD
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC cân tại C, có AB = 9cm và $AC=\frac{15}{2}cm$. Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính độ dài cạnh AD

   A. AD = 6cm

   B. AD = 9cm

   C. AD = 12cm

   Đáp án chính xác

   D. $AD=12\sqrt{2}cm$

   Trả lời:

   Đáp án CTa có: D là điểm đối xứng của B qua C ⇒ C là trung điểm của BD.⇒ AC là trung tuyến của tam giác ΔDAB.      BD = 2BC = 2AC = 15.Theo hệ thức trung tuyến ta có:$A{C}^2=\frac{A{B}^2+A{D}^2}{2}-\frac{B{D}^2}{4}\Rightarrow A{D}^2=2A{C}^2+\frac{B{D}^2}{2}-A{B}^2\Rightarrow A{D}^2=2.{\left(\frac{15}{2}\right)}^2+\frac{{15}^2}{2}-9^2=144\Rightarrow AD=12$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm. Gọi góc ABC^=α và ACB^=β. Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh α và β
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm. Gọi góc $\widehat{ABC}=\alpha$ và $\widehat{ACB}=\beta$. Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh $\alpha$ và $\beta$

   A. $\beta >\alpha$

   B. $\beta <\alpha$

   Đáp án chính xác

   C. $\beta =\alpha$

   D. $\beta \ge \alpha$

   Trả lời:

   Đáp án B+ Có $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=12$+ $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow \frac{\sin C}{\sin B}=\frac{c}{b}=\frac{5}{12}<1$ (*)+ Tam giác ABC vuông tại A, suy ra B và C là góc nhọn. Do đó sinB > 0 và sinC > 0Từ (*) suy ra sinC < sinB. Suy ra C < B hay $\beta <\alpha$

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====