Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = AC/4, N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tìm mệnh đề đúng?

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = AC/4, N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tìm mệnh đề đúng?

A. Tam giác BMN là tam giác vuông

B. Tam giác BMN là tam giác cân

C. Tam giác BMN là tam giác đều

D. Tam giác BMN là tam giác vuông cân

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D.
Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}; \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}$$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)$
Do AB và AD vuông góc với nhau và AB = AD nên $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}=\overrightarrow{0}; {\overrightarrow{x}}^2={\overrightarrow{y}}^2$ 
Khi đó :

Ta có

Mặt khác

Vậy tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.

====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====

1. Cho tam giác ABC. Biết các cạnh a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn hệ thức: b(b2 – a2) = c(c2 – a2). Tìm mệnh đề đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Biết các cạnh a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn hệ thức: b(b² – a²) = c(c² – a²). Tìm mệnh đề đúng?

   A. Tam giác ABC là tam giác đều

   B. Tam giác ABC là tam giác cân

   C. Tam giác ABC là tam giác tù

   Đáp án chính xác

   D. tam giác ABC là tam giác nhọn

   Trả lời:

   Chọn C.
   Theo đầu bài ta có; b(b² – a²) = c(c² – a²)
   Hay b³ – c³ = a²(b – c)
   Mà b – c ≠ 0 nên b² + bc + c² = a²
   Theo định lí côsin thì a² = b² + c² – 2bccosA
   Do đó: b² + bc + c² = b² + c² – 2bccosA
   Suy ra: cos A = – ½  hay góc A bằng 120⁰.
   Do đó tam giác ABC tù

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
2. Cho tam giác ABC thỏa mãn: sinC = cosA + cosB. Tìm mệnh đề đúng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC thỏa mãn: sinC = cosA + cosB. Tìm mệnh đề đúng

   A. Tam giác ABC cân tại A

   B. Tam giác ABC là tam giác nhọn

   C. Tam giác ABC đều

   D. Tam giác ABC là tam giác vuông.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D.
   Ta có:
   
   
   Vậy  sin C = cosA + cos B khi và chỉ khi
   
   Hay 
   cS= (a+b)(p-a)(p-b)
   $c^2.p.\left(p–a\right)\left(p–b\right)\left(p–c\right)={(a+b)}^2{\left(p–a\right)}^2{\left(p–b\right)}^2\iff c^2.p.\left(p–c\right)={(a+b)}^2\left(p–a\right)\left(p–b\right)$
   Nên c²[(a + b) ² – c²]= (a + b)²[ c² – (a – b)²]
   Do đó; c⁴ = (a² – b²) ²
   Suy ra a² = b² + c² hoặc b² = c² + a²
   Suy ra; tam giác ABC vuông tại A hoặc B.
    

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
3. Cho tứ giác ABCD. Cho hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tìm mệnh đề đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD. Cho hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tìm mệnh đề đúng?

   A. AB² + BC² = CD² + AD²

   B. AB² = BC² + CD²

   C. BC² = AD² + CD²

   D. AB² + CD² = BC² + AD²

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D.
   Ta có: AB² + CD² – BC² – AD²
   
   Do 2  đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên =$\overrightarrow{0}$
   Từ đó; AB² + CD² – BC² – AD² = 0 hay AB² + CD² = BC² + AD²

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
4. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức AC2 + BD2 = AD2 + BC2. Tìm mệnh đề đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức AC² + BD² = AD² + BC². Tìm mệnh đề đúng?

   A. AC và AD vuông góc với nhau

   B. AC và BD vuông góc với nhau

   C. AB và CD vuông góc với nhau

   Đáp án chính xác

   D. AB và BC vuông góc với nhau

   Trả lời:

   Chọn C
   Theo đầu bài ta có: AC² + BD² = AD² + BC² nên AC² – AD² = BC² – BD²
   Suy ra: 
   
   Hay
   
   Tương đương 
   
   
   

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====
   
5. Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a . Lấy M, N, P lần l­ượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a; CN = 2a và AP = x . Tính x để AM  vuông góc với PN.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a . Lấy M, N, P lần l­ượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a; CN = 2a và AP = x . Tính x để AM  vuông góc với PN.

   A. x = a

   B. x = 2a

   C. x = 0,8.a

   Đáp án chính xác

   D. x = 0,5.a

   Trả lời:

   Chọn C.
   Ta có
   
   Do AM và PN vuông góc với nhau nên 
   
   

   ====== TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 =====