[T10-CD] Cho điểm A(1;3) và đường thẳng d: 2x – 3y + 4 = 0. Số đường thẳng qua A và tạo với d một góc 60° là:

Đường thẳng d có VTPT \(\overrightarrow {{n_d}} \left( {2;\,\, – 3} \right)\) 

Gọi đường thẳng ∆ thỏa mãn có VTPT \(\overrightarrow {{n_\Delta }} \left( {a;\,\,b} \right)\). 

 Vì góc giữa hai đường thẳng bằng 600 nên:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{cos\;6}}{{\rm{0}}^0} = \left| {c{\rm{os\;(\;}}\overrightarrow {{n_d}} ;\,\,\,\overrightarrow {{n_\Delta }} )} \right| = \frac{{\left| {2a – 3b} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} .\,\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\
{ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {2a – 3b} \right|}}{{\sqrt {13} .\,\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {13} .\,\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \,2.\,\,\left| {2a – 3b} \right|}\\
{ \Leftrightarrow 13\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 4\left( {4{a^2} – 12ab + 9{b^2}} \right)}\\
{ \Leftrightarrow  – 3{a^2} + 48ab – 23{b^2} = 0 \Leftrightarrow  – 3{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + 48.\frac{a}{b} – 23 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)}
\end{array}\)

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Ứng với mỗi nghiệm ta tìm được 1 cặp số (a, b) là VTPT của đường thẳng ∆. Từ đó, ta viết được 2 phương trình đường thẳng ∆ thỏa mãn. 

Chọn đáp án C