Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có \(AD = a,AB = a\sqrt 3 ,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) \(\widehat {SBA} = {30^0}\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
-
A.
\(\frac{{5\sqrt 5 \pi {a^3}}}{6}\)(đvtt) -
B.
\(\frac{{5\sqrt 5 \pi {a^3}}}{3}\)(đvtt) -
C.
\(\frac{{5\pi {a^3}}}{6}\) (đvtt) -
D.
\(\frac{{5\pi {a^3}}}{3}\) (đvtt)
Đáp án đúng: A
Gọi I là trung điểm của SC. Suy ra IC=IS (1)
Gọi \(H = AC \cap BD \Rightarrow H\) là tâm của hình chữ nhật ABCD.
Xét tam giác SAC, có HI là đường trung bình \( \Rightarrow HI//SA \Rightarrow HI \bot (ABCD)\)
\( \Rightarrow \) Đường thẳng HI là tập hợp các điểm cách đều A, B, C,D (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC=ID=IS
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I và bán kính r = IC
Xét tam giác ABC vuông tại B, có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a.\)
Xét tam giác SAB vuông tại A, có \(SA = AB.\tan {30^0} = a\)
Xét tam giác SAC vuông tại A, có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} = a\sqrt 5 \)
\(r = IC = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
Thể tích mặt cầu bán kính r là: \(V = \frac{4}{3}\pi .{r^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{6}\) (đvtt)