Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 4y + 5z + 8 = 0\) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – 2y + 1 = 0,\left( \beta \right):x – 2z – 3 = 0\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tính \(\varphi \).
-
A.
\(45^\circ \) -
B.
\(30^\circ \) -
C.
\(60^\circ \,\) -
D.
\(90^\circ \)
Đáp án đúng: C
Các VTPT của các mặt phẳng \(\left( P \right),\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; – 2;0} \right),\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0; – 2} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \left( {4;2;2} \right) = 2\left( {2;1;1} \right) \Rightarrow \)VTCP của đường thẳng d là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1;1} \right)\)
Ta có: \(\sin \varphi = \frac{{\left| {3.2 + 4.1 + 5.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ .\)