Câu hỏi:
Một người muốn làm một chiếc thùng dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông và có thể tích bằng \(2,16{m^3}.\) Biết giá của vật liệu làm đáy và mặt bên của thùng lần lượt là 90000 đồng/m2 và 36000 đồng/m2. Để làm được chiếc thùng với chi phí mua vật liệu thấp nhất thì người thợ phải chọn các kích thước của chiếc thùng là bao nhiêu?
-
A.
Cạnh đáy 1,5m và chiều cao 0,96m. -
B.
Cạnh đáy 1,2m và chiều cao 1,5m. -
C.
Cạnh đáy 1,0m và chiều cao 1,7m. -
D.
Cạnh đáy 2m và chiều cao 0,54m.
Đáp án đúng: B
Gọi cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là x và chiều cao là y.
Ta có: \(V = {x^2}y = 2,16{m^3} \Rightarrow y = \frac{{2,16}}{{{x^2}}};\,\,{S_d} = {x^2};\,{S_{xq}} = 4xy.\)
Khi đó chi phí sản xuất \(T = 90{x^2}{\rm{ + 36}}\left( {4xy} \right) = 90{x^2} + \frac{{311,04}}{x}\) (nghìn đồng).
Xét hàm số \(T(x) = 90{x^2} + \frac{{311,04}}{x},x > 0\)
Ta có: \(T'(x) = 180x – \frac{{311,04}}{{{x^2}}};\,\,T'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}.\)
Bảng biến thiên:
Vậy chi phí sản xuất nhỏ nhất khi độ dài cạnh đáy hộp là \(x = 1,2m,\) chiều cao \(y = \frac{{2,16}}{{{x^2}}} = 1,5.\)