Câu hỏi:
Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z+11=0\) . Xét điểm M di động trên \(\left( P \right)\) , các điểm A,B,C phân biệt di động trên \(\left( S \right)\) sao cho AM,BM,CM là các tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) . Mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây ?
-
A.
\(E\left( 0;3;-1 \right)\). -
B.
\(H\left( 0;-1;3 \right)\). -
C.
\(F\left( \frac{1}{4};\frac{-1}{2};\frac{-1}{2} \right)\). -
D.
\(G\left( \frac{3}{2};0;2 \right)\).
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Đáp án đúng: A
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;1;1 \right)\), bán kính \(R=2\sqrt{3}\)
Xét điểm \(M\left( a;b;c \right); A\left( x;y;z \right)\) ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 12\\
A{I^2} + A{M^2} = I{M^2}\\
a – 2b + 2c + 11 = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 12{\rm{ (1)}}\\
12 + {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 1} \right)^2}{\rm{ (2)}}\\
a – 2b + 2c + 11 = 0{\rm{ (3)}}
\end{array} \right.\)
Lấy (1) – (2) theo vế ta được: \(\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0\)
Vậy mặt phẳng \(\left( Q \right):\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0\) là mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm.
Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng \(\left( Q \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(\left( 0;3;-1 \right)\).