Câu hỏi:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):z – 1 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + z – 3 = 0\). Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \). Phương trình của đường thẳng d là
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + t\\
y = t\\
z = 1 + t
\end{array} \right.\) -
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 – t\\
y = t\\
z = 1
\end{array} \right.\) -
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + t\\
y = t\\
z = 1
\end{array} \right.\) -
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + t\\
y = – t\\
z = 1 + t
\end{array} \right.\)
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Đáp án đúng: C
Đặt \({{\vec{n}}_{P}}=\left( 0;0;1 \right)\) và \({{\vec{n}}_{Q}}=\left( 1;1;1 \right)\) lần lượt là véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Do \(\Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)\) nên \(\Delta \) có một véctơ chỉ phương \({{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right]=\left( -1;1;0 \right)\).
Đường thẳng d nằm trong \(\left( P \right)\) và \(d\bot \Delta \) nên d có một véctơ chỉ phương là \({{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{{u}’}}_{\Delta }} \right] =\left( -1;-1;0 \right)\).
Gọi \({d}’:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-1}\) và \(A={d}’\cap d\Rightarrow A={d}’\cap \left( P \right)\)
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
z – 1 = 0\\
\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
z = 1\\
y = 0\\
x = 3
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;0;1} \right)\).
Do đó phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + t\\
y = t\\
z = 1
\end{array} \right.\).