Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{6}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9.\) Biết đường thẳng d cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo dây cung AB. Độ dài AB là

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó

\(AB=2\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;d \right)}\)

d đi qua điểm \(M\left( 3;2;0 \right)\) và \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;3;6 \right).\)

Vậy \(d\left( I;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}\)

Ta có \(\overrightarrow{IM}=\left( 2;1;0 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 6;-12;4 \right).\)

Vậy \(\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|=14.\)

Mà \(\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}=7\Rightarrow d\left( I,d \right)=2.\)

Vậy \(AB=2\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}\)