Câu hỏi:
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x+1}\) mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?
-
A.
1 -
B.
0 -
C.
2 -
D.
3
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Đáp án đúng: A
Ta có \(y=f’\left( x \right)=\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\)
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\left( {{x}_{0}}\ne -1 \right)\) có dạng \(y=f’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.\)
Do tiếp tuyến cắt \(Ox,Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A,B\) và tam giác OAB cân nên tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=x\) hoặc \(y=-x\)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 1\\
\frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = – 1\left( {vn} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
{x_0} = – 2
\end{array} \right..\)
Với \(x=1\) phương trình tiếp tuyến là \(y=x\) loại vì A trùng O
Với \(x=-2\) phương trình tiếp tuyến là \(y=x+2\)
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn ycbt.