Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn \({{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{3}}\left( x+y \right)?\)
-
A.
116 -
B.
59 -
C.
58 -
D.
115
Lời giải tham khảo:
chen-hinh-htn Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đáp án đúng: A
Với mọi \(x \in \) ta có \({x^2} \ge x\).
Xét hàm số \(f(y) = {\log _3}(x + y) – {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right)\).
Tập xác định \({\rm{D}} = ( – x; + \infty )\) (do \(y > – x \Rightarrow y > – {x^2}\)).
\(f'(y) = \frac{1}{{(x + y)\ln 3}} – \frac{1}{{\left( {{x^2} + y} \right)\ln 4}} \ge 0,\,\,\forall x \in D\) (do \({x^2} + y \ge x + y > 0\),\(\ln 4 > \ln 3\))
→ f tăng trên D.
Ta có \(f( – x + 1) = {\log _3}(x – x + 1) – {\log _4}\left( {{x^2} – x + 1} \right) \le 0\).
Có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn \(f\left( y \right) \le 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow f( – x + 729) > 0 \Leftrightarrow {\log _3}729 – {\log _4}\left( {{x^2} – x + 729} \right) > 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – x + 729 – {4^6}
\Leftrightarrow – 57,5 \le x \le 58,5
\end{array}\)
Mà \(x \in \) nên \(x \in \left\{ { – 57,\, – 56,\,…,\,58} \right\}\).
Vậy có 58 – ( – 57) + 1 = 116 số nguyên x thỏa.