Câu hỏi:
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(\ln \frac{{\sqrt {1 + xy} }}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + xy – 1}}{2}\). Biết giá trị lớn nhất của của biểu thức \(P = \frac{{xy}}{{x + y}}\) bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) trong đó a là số nguyên tố. Tính ab2
-
A.
80 -
B.
180 -
C.
48 -
D.
108
Lời giải tham khảo:
chen-hinh-htn Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đáp án đúng: D
Với x, y > 0 ta có \(\ln \frac{{\sqrt {1 + xy} }}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + xy – 1}}{2} \Leftrightarrow \ln \frac{{1 + xy}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = {\left( {x + y} \right)^2} – \left( {xy + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \ln \left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + xy} \right) = \ln {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2}\,\,\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( u \right) = \ln u + u\,\,\,\,\left( {u > 0} \right)\) có \(f’\left( u \right) = \frac{1}{u} + 1 > 0,\forall u > 0 \Rightarrow \) hàm số f(u) đồng biến trên khoảng \(\,\left( {0; + \infty } \right)\).
Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {1 + xy} \right) = f{\left( {x + y} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 1 + xy = {\left( {x + y} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} – xy = 1.\)
Đặt \(t = x + y\left( {t > 0} \right) \Rightarrow xy = {t^2} – 1\). Khi đó \(P = \frac{{{t^2} – 1}}{t}\).
Áp dụng bất đẳng thức \(xy \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \Rightarrow {t^2} – 1 \le \frac{{{t^2}}}{4} \Rightarrow {t^2} \le \frac{4}{3} \Rightarrow t \in \left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 1}}{t}\) với \(t \in \left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]\). Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 1}}{{{t^2}}} > 0,\forall t \Rightarrow \) Hàm số f(t) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]\).
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 6
\end{array} \right.\)