Câu hỏi:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa \(\left( SCD \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(60{}^\circ \). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
A.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\) -
B.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) -
C.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) -
D.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\)
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Đáp án đúng: C
Diện tích đáy là \({{S}_{ABCD}}=AB.AD={{a}^{2}}\).
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, \(SH\bot AB\).
Kết hợp với \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\) và \(\left( SAB \right)\bigcap \left( ABCD \right)=AB\) thì \(SH\bot \left( ABCD \right)\).
Gọi M là trung điểm của CD, ta có \(HM\bot CD\).
Suy ra, góc giữa \(\left( SCD \right)\) và mặt phẳng đáy là \(\widehat{SMH}=60{}^\circ \).
Ta tính được HM=a và \(SH=HM\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \(V=\frac{1}{3}\times {{a}^{2}}\times a\sqrt{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\).