Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a. \) Biết \(SA=SB=SC=a. \) Đặt \(SD=x\left( 0
-
A.
\(\frac{a\sqrt{6}}{12}.\) -
B.
\(\frac{a\sqrt{3}}{2}.\) -
C.
\(\frac{a\sqrt{6}}{2}.\) -
D.
\(a\sqrt{3}.\)
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Đáp án đúng: C
Ta có \(\Delta SAC=\Delta ABC\left( c-c-c \right)\) và \(\Delta SAC,\Delta ABC\) lần lượt cân tại \(S\) và \(B. \)
Khi đó \(SO=BO=\frac{BD}{2}.\) Suy ra \(\Delta SBD\) vuông tại \(S\) (đường trung tuyến bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đối diện).
Trong \(\Delta SBD\) ta có: \(BD=\sqrt{S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\)
Trong \(\Delta ABD\) áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\(AO=\sqrt{\frac{2\left( A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}} \right)}{4}-\frac{B{{D}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2\left( {{a}^{2}}+{{a}^{2}} \right)-\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}{4}}=\frac{\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}.\)
Suy ra \(AC=2AO=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.\)
Khi đó \(AC.SD=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.x=\sqrt{\left( 3{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right){{x}^{2}}}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) ta có: \(AC.SD=\sqrt{\left( 3{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right){{x}^{2}}}\le \frac{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\)
Vậy \(\max AC.SD=\frac{3{{a}^{2}}}{2}.\)
Dấu “=” xảy ra \(3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow x=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)