Cho hàm số \(y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị như hình dưới đây Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left( -5;5 \right)\) để phương trình \({{f}^{2}}(x)-(m+4)\left| f(x) \right|+2m+4=0\) có 6 nghiệm phân biệt

Ta có phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)-\left( m+4 \right)\left| f\left( x \right) \right|+2m+4=0\)

\(\Leftrightarrow \left( \left| f\left( x \right) \right|-2 \right)\left( \left| f\left( x \right)-m-2 \right| \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& \left| f\left( x \right) \right|=2\text{ (1)} \\

& \left| f\left( x \right) \right|=m+2\text{ (2)} \\

\end{align} \right..\)

Từ đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) ta có đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x \right) \right|\) như sau:

Từ đồ thị trên, ta có phương trình \(\left( 1 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt.

Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt và khác các nghiệm của \(\left( 1 \right)\).

Suy ra \(\left[ \begin{align}

& m+2>4 \\

& m+2=0 \\

\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& m>2 \\

& m=-2 \\

\end{align} \right.\).

Vì m nguyên và \(m\in \left( -5;5 \right)\Rightarrow m\in \left\{ -2;3;4 \right\}\).