Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 1;\,4 \right]\) và thỏa mãn hệ thức \(\left\{ \begin{align}
& f\left( 1 \right)+g\left( 1 \right)=4 \\
& g\left( x \right)=-x.{f}’\left( x \right);\,\,\,\,\,f\left( x \right)=-x.{g}’\left( x \right) \\
\end{align} \right.\). Tính \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\).
-
A.
8ln2 -
B.
3ln2 -
C.
6ln2 -
D.
4ln2
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Đáp án đúng: A
Ta có \(f\left( x \right)+g\left( x \right)=-x\left[ {f}’\left( x \right)+{g}’\left( x \right) \right]\)
\(\Rightarrow \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}=-\int{x\left[ {f}’\left( x \right)+{g}’\left( x \right) \right]\text{d}x}\)
\(\Rightarrow \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}=-x\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]+\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)
\(\Rightarrow -x\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]=C\Rightarrow f\left( x \right)+g\left( x \right)=-\frac{C}{x}\). Vì \(f\left( 1 \right)+g\left( 1 \right)=-C\Rightarrow C=-4\)
Do đó \(f\left( x \right)+g\left( x \right)=\frac{4}{x}\).
Vậy \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}=8\ln 2\)