[THPT 2023] Tập hợp giá trị m để hàm số \(y=\frac{1}{3}({{m}^{2}}-1){{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+3x-1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là:

\(y=\frac{1}{3}({{m}^{2}}-1){{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+3x-1\)

+) \({{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\ & m=-1 \\\end{align} \right.\)

Nếu \(m=1\) thì \(y=2{{x}^{2}}+3x-1\) là hàm số bậc hai, không đồng biến trên \(\mathbb{R}\Rightarrow \)Loại m = 1.

Nếu \(m=-1\) thì \(y=3x-1\) là hàm số bậc nhất, có \(3>0\), là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\Rightarrow \) m = -1 thỏa mãn.

+) \(m\ne \pm 1\)

\(y’=({{m}^{2}}-1){{x}^{2}}+2(m+1)x+3\)

Để hàm số đồng biến trên R thì 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ‘ \le 0\\
{m^2} – 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(m + 1)^2} – 3({m^2} – 1) \le 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 2{m^2} + 2m + 4 \le 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m \le – 1\\
m \ge 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < – 1\\
m \ge 2
\end{array} \right.\)

Vậy, tập hợp giá trị m để hàm số \(y=\frac{1}{3}({{m}^{2}}-1){{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+3x-1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là:  \(\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 2;+\infty  \right)\).

Chọn: B