[HK1-K10] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \( – 2{x^2} + 2\left( {m – 2} \right)x + m – 2 \ge 0\) có nghiệm.

Đặt \(f\left( x \right) = {\rm{\;}} – 2{x^2} + 2\left( {m – 2} \right)x + m – 2\).

\(\Delta ‘ = {\left( {m – 2} \right)^2} + 2\left( {m – 2} \right) = {m^2} – 2m\)

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {\rm{\;}} – 2 < 0}\\{\Delta ‘ < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {\rm{\;}} – 2 < 0}\\{{m^2} – 2m < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 < m < 2\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình \( – 2{x^2} + 2\left( {m – 2} \right)x + m – 2 \ge 0\) vô nghiệm.

\( \Rightarrow \) Loại

+) \(\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 2m = 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {m – 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – 2{x^2} – 4x – 2 = 0}\\{ – 2{x^2} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{\;}} – 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy bất phương trình \( – 2{x^2} + 2\left( {m – 2} \right)x + m – 2 \ge 0\) có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{\;}} – 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.\).

\( \Rightarrow \) Nhận \(m = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m = 2\).

+) \(\Delta ‘ > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} – 2m > 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {m – 2} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m > 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) (giả sử \({x_1} < {x_2}\))

Bảng xét dấu:

 

Dựa vào bảng xét dấu, ta có: \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x_1} \le x \le {x_2}\)

\( \Rightarrow \) Nhận \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m > 2}\end{array}} \right.\)

Kết hợp các trường hợp, ta được \(m \in \left( { – \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right] \cup \left[ {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  + \infty } \right)\).

Vậy \(m \in \left( { – \infty ;{\mkern 1mu} 0} \right] \cup \left[ {2;{\mkern 1mu}  + \infty } \right)\).

Chọn C.