Câu hỏi:
Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=mx+\frac{36}{x+1}\) trên \(\left[ 0;3 \right]\) bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(4<m\le 8\) -
B.
\(0<m\le 2\) -
C.
\(2<m\le 4\) -
D.
\(m>8\).
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Ta có \(y’=m-\frac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\)
* Với \(m\le 0,\) hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;3 \right]\) nên \(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 3 \right)=3m+9\)
Suy ra \(3m+9=20\Leftrightarrow m=\frac{11}{3}\) (không thỏa mãn)
* Với \(m>0,\) ta có:
\(y’=\frac{m{{\left( x+1 \right)}^{2}}-36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\\
y’=0\Leftrightarrow x+1=\pm \frac{6}{\sqrt{m}}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-1+\frac{6}{\sqrt{m}} \\
& x=-1-\frac{6}{\sqrt{m}}\left( L \right) \\
\end{align} \right.\)
– Khi \(0\le -1+\frac{6}{\sqrt{m}}\le 3\Leftrightarrow \frac{9}{4}\le m\le 36,\) ta có bảng biến thiên của hàm số:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra
\(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( -1+\frac{6}{\sqrt{m}} \right)=-m+12\sqrt{m}=20\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& m=4 \\
& m=100\left( L \right) \\
\end{align} \right..\)
– Khi \(-1+\frac{6}{\sqrt{m}}>3\Leftrightarrow m<\frac{9}{4},\) ta có bảng biến thiên của hàm số:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra \(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 3 \right)=3m+9=20\Leftrightarrow m=\frac{11}{9}\) (loại).
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 20 khi \(m=4.\)
Chọn đáp án C.
==================
Bộ đề thi thử THPT QG môn TOÁN năm 2023 có lời giải chi tiết do NET tổng hợp và chắt lọc các đề thi thử từ các trường THPT khác nhau trên cả nước, sẽ giúp các em học sinh lớp 12 củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức đã học vào việc giải đề. Thực hành luyện giải đề thi online với cấu trúc câu hỏi và thời gian theo quy định sẽ giúp các em nâng cao khả năng nhận thức, hiểu và vận dụng lý thuyết vào thực hành tốt nhất, giúp ghi nhớ kiến thức được đầy đủ và chắc chắn hơn cũng như tích lũy nhiều kinh nghiệm làm bài bổ ích. Cùng HOC TRAC NGHIEM thử sức với bộ đề ngay sau đây nhé!
Trả lời