[Đề HOA 2023] Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=mx+\frac{36}{x+1}\) trên \(\left[ 0;3 \right]\) bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta có \(y’=m-\frac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\)

* Với \(m\le 0,\) hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;3 \right]\) nên \(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 3 \right)=3m+9\)

Suy ra \(3m+9=20\Leftrightarrow m=\frac{11}{3}\) (không thỏa mãn)

* Với \(m>0,\) ta có: 

\(y’=\frac{m{{\left( x+1 \right)}^{2}}-36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\\

y’=0\Leftrightarrow x+1=\pm \frac{6}{\sqrt{m}}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& x=-1+\frac{6}{\sqrt{m}} \\

& x=-1-\frac{6}{\sqrt{m}}\left( L \right) \\

\end{align} \right.\)

– Khi \(0\le -1+\frac{6}{\sqrt{m}}\le 3\Leftrightarrow \frac{9}{4}\le m\le 36,\) ta có bảng biến thiên của hàm số:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra

\(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( -1+\frac{6}{\sqrt{m}} \right)=-m+12\sqrt{m}=20\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& m=4 \\

& m=100\left( L \right) \\

\end{align} \right..\)

– Khi \(-1+\frac{6}{\sqrt{m}}>3\Leftrightarrow m<\frac{9}{4},\) ta có bảng biến thiên của hàm số:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra \(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 3 \right)=3m+9=20\Leftrightarrow m=\frac{11}{9}\) (loại).

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 20 khi \(m=4.\)

Chọn đáp án C.