Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(2M{A^2} + M{B^2}.\)

Ta xác định điểm \(H\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(2.\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {HA}  = \left( { – 1 – x;2 – y; – 3 – z} \right);\,\overrightarrow {HB}  = \left( {5 – x;2 – y;3 – z} \right)\)  nên

\(2.\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( { – 2 – 2x;4 – 2y; – 6 – 2z} \right) + \left( {5 – x;2 – y;3 – z} \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 – 2x + 5 – x = 0\\4 – 2y + 2 – y = 0\\ – 6 – 2z + 3 – z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z =  – 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;2; – 1} \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}2M{A^2} + M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 2.{\left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HB} } \right)^2}\\ = 2.\left( {M{H^2} + 2\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {HA}  + H{A^2}} \right) + \left( {M{H^2} + 2.\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {HB}  + H{B^2}} \right)\\ = 3M{H^2} + 2H{A^2} + H{B^2} + 2\overrightarrow {MH} \left( {2\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB} } \right)\\ = 3M{H^2} + 2H{A^2} + H{B^2}\,\,\left( {Do\,\,2.\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  = \overrightarrow 0 } \right)\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {HA}  = \left( { – 2;0; – 2} \right);\,\overrightarrow {HB}  = \left( {4;0;4} \right) \Rightarrow H{A^2} = 8;H{B^2} = 32\) nên

\(2M{A^2} + M{B^2} = 3M{H^2} + 2.8 + 32 = 3M{H^2} + 48\)

Từ đó \(2M{A^2} + M{B^2}\) lớn nhất khi \(M{H^2}\) lớn nhất hay \(MH\) lớn nhất.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;1;1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Ta có \(M{H_{\max }} = HI + R = \sqrt {4 + 1 + 4}  + 2 = 5\).

Như vậy \(2M{A^2} + M{B^2}\) đạt GTLN là \(3M{H^2} + 48 = 3.25 + 48 = 123\).

Chọn B.