Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + \left( {2m – 1} \right)x + 2019\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y’ = 3{x^2} – 6x + 2m – 1 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow 3{x^2} – 6x + 2m – 1 \ge 0\,\,\forall x \in y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) = 3{x^2} – 6x \ge  – 2m + 1\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow  – 2m + 1 \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} – 6x\) ta có \(g’\left( x \right) = 6x – 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

BBT:

\( \Rightarrow  – 2m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\).

Chọn C.