Câu hỏi:
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + x\ln x\) là:
-
A.
\(F\left( x \right) = – \cos x + \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x – \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\) -
B.
\(F\left( x \right) = – \cos x + \ln x + C\) -
C.
\(F\left( x \right) = \cos x + \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x – \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\) -
D.
\(F\left( x \right) = – \cos x + C\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
\(\int\limits_{}^{} {\left( {\sin x + x\ln x} \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\sin xdx} + \int\limits_{}^{} {x\ln xdx} = – \cos x + {I_1} + C\)
Xét \({I_1} = \int\limits_{}^{} {x\ln xdx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {I_1} = \ln x.\dfrac{{{x^2}}}{2} – \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{x^2}}}{2}\dfrac{{dx}}{x}} = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x – \dfrac{1}{2}\int\limits_{}^{} {xdx} = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x – \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\).
Vậy \(F\left( x \right) = – \cos x + \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x – \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\).
Chọn A.
Trả lời