Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \({x^9} + 3{x^3} – 9x = m + 3\sqrt[3]{{9x + m}}\) có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của \(S\).

Ta có:

\({x^9} + 3{x^3} – 9x = m + 3\sqrt[3]{{9x + m}} \Leftrightarrow {x^9} + 3{x^3} = 9x + m + 3\sqrt[3]{{9x + m}} \\ \Leftrightarrow {\left( {{x^3}} \right)^3} + 3{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9x + m}}} \right)^3} + 3\sqrt[3]{{9x + m}}\)

Xét hàm \(g\left( t \right) = {t^3} + 3t \Rightarrow g’\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0,\forall t\) nên hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \(g\left( {{x^3}} \right) = g\left( {\sqrt[3]{{9x + m}}} \right) \Leftrightarrow {x^3} = \sqrt[3]{{9x + m}} \Leftrightarrow {x^9} = 9x + m \Leftrightarrow {x^9} – 9x = m\).

Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^9} – 9x\) trên \(\mathbb{R}\) có \(f’\left( x \right) = 9{x^8} – 9 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 8\\m =  – 8\end{array} \right.\).

Vậy \(S = \left\{ { – 8;8} \right\}\) hay tổng các phần tử của \(S\) bằng \(0\).

Chọn D.