Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) là

Ta có: \(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) – {x^3} + 3x – m \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) – {x^3} + 3x \ge m\)

Điều kiện bài toán trở thành tìm \(m\) để \(3f\left( x \right) – {x^3} + 3x \ge m,\forall x \in \left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\).

Xét hàm \(h\left( x \right) = 3f\left( x \right) – {x^3} + 3x\) trên đoạn \(\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) ta có:

\(h’\left( x \right) = 3f’\left( x \right) – 3{x^2} + 3 = 3\left( {f’\left( x \right) – {x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = {x^2} – 1\)

Dựng đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 1\) cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) bài cho ta được:

Xét trên đoạn \(\left( { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\) thì \(f’\left( x \right) \le {x^2} – 1,\forall x \in \left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\).

Do đó \(f’\left( x \right) – {x^2} + 1 \le 0,\forall x \in \left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) hay hàm số \(y = h\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\).

Suy ra \(h\left( { – \sqrt 3 } \right) \ge h\left( x \right) \ge h\left( {\sqrt 3 } \right)\,\,\forall x \in \left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) hay \(3f\left( { – \sqrt 3 } \right) \le h\left( x \right) \le 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).

Điều kiện bài toán thỏa \( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]} h\left( x \right) = h\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).

Vậy \(m \le 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).

Chọn A.