Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} – m – 3} \right)x – {m^2}\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} – m – 3} \right)x – {m^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương trình \({x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2} = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m + 3} \right)^2} – 4{m^2} > 0\\{1^2} + \left( {m + 3} \right).1 + {m^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3{m^2} + 6m + 9 > 0\\{m^2} + m + 4 \ne 0\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow  – 1 < m < 3\)

Do đó với \( – 1 < m < 3\) thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt.

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Chọn A.