Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AI} = – \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \). Điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \)( x là số thực). Tìm x để M, G, I thẳng hàng.

M, G, I thẳng hàng \( \Leftrightarrow \) tồn tại số k để \(\overrightarrow {IG}  = k\overrightarrow {IM} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {IA}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \overrightarrow {IA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \end{array}\)

\(\overrightarrow {IM}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + x\overrightarrow {AB} \)

Do đó \(\dfrac{5}{6}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  = k\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + x\overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{k}{2}\overrightarrow {AC}  + kx\overrightarrow {AB} \).

Đồng nhất hệ số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{5}{3}\\x = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\)