Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều có \(AB = 2\) và \(SA = 3\sqrt 2 .\) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) và \(E\) là trung điểm \(SB.\)

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong \(\left( {SBO} \right)\) kẻ đường trung trực của \(SB\) cắt \(SO\) tại \(I\), khi đó \(IA = IB = IC = ID = IS\)  nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và bán kính mặt cầu là \(R = IS.\)

Ta có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2\)

 \( \Rightarrow BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}}  = 2\sqrt 2  \Rightarrow BO = \dfrac{{BD}}{2} = \sqrt 2 .\)

Ta có \(SA = SB = SC = SD = 3\sqrt 2 \) (vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều) nên \(SE = EB = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác \(SBO\) vuông tại \(O\) (vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB\)) có \(SO = \sqrt {S{B^2} – O{B^2}}  = \sqrt {18 – 2}  = 4.\)

Ta có \(\Delta SEI\) đồng dạng với tam giác \(SOB\left( {g – g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SB}} = \dfrac{{SE}}{{SO}} \Leftrightarrow IS = \dfrac{{SB.SE}}{{SO}} = \dfrac{{3\sqrt 2 .\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}}{4} = \dfrac{9}{4}\)

Vậy bán kính \(R = \dfrac{9}{4}.\)

Chọn C.