Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều có \(AB = 2\) và \(SA = 3\sqrt 2 .\) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{7}{4}\) -
B.
\(\dfrac{{\sqrt {33} }}{4}\) -
C.
\(\dfrac{9}{4}\) -
D.
\(2\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) và \(E\) là trung điểm \(SB.\)
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Trong \(\left( {SBO} \right)\) kẻ đường trung trực của \(SB\) cắt \(SO\) tại \(I\), khi đó \(IA = IB = IC = ID = IS\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và bán kính mặt cầu là \(R = IS.\)
Ta có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2\)
\( \Rightarrow BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow BO = \dfrac{{BD}}{2} = \sqrt 2 .\)
Ta có \(SA = SB = SC = SD = 3\sqrt 2 \) (vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều) nên \(SE = EB = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác \(SBO\) vuông tại \(O\) (vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB\)) có \(SO = \sqrt {S{B^2} – O{B^2}} = \sqrt {18 – 2} = 4.\)
Ta có \(\Delta SEI\) đồng dạng với tam giác \(SOB\left( {g – g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SB}} = \dfrac{{SE}}{{SO}} \Leftrightarrow IS = \dfrac{{SB.SE}}{{SO}} = \dfrac{{3\sqrt 2 .\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}}{4} = \dfrac{9}{4}\)
Vậy bán kính \(R = \dfrac{9}{4}.\)
Chọn C.
Trả lời