Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x – 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 5 \right) = 2\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Tính \(F\left( 2 \right) – F\left( { – 1} \right).\)

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{x – 1}}dx = \ln \left| {x – 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x – 1} \right) + {C_1}\,\,khi\,x > 1\\\ln \left( {1 – x} \right) + {C_2}\,\,khi\,x < 1\end{array} \right.} \)

+ Với \(F\left( 5 \right) = 2 \Rightarrow \ln \left( {5 – 1} \right) + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2 – 2\ln 2 \Rightarrow F\left( x \right) = \ln \left( {x – 1} \right) + 2 – 2\ln 2\,\,\left( {khi\,x > 1} \right)\)

+ Với \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln \left( {1 – 0} \right) + {C_2} = 1 \Leftrightarrow {C_2} = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \ln \left( {1 – x} \right) + 1\,\,\left( {khi\,x < 1} \right)\)

Suy ra \(F\left( 2 \right) = \ln \left( {2 – 1} \right) + 2 – 2\ln 2 = 2 – 2\ln 2\) ; \(F\left( { – 1} \right) = \ln \left( {1 + 1} \right) + 1 = 1 + \ln 2\)

Nên \(F\left( 2 \right) – F\left( { – 1} \right) = 2 – 2\ln 2 – \left( {1 + \ln 2} \right) = 1 – 3\ln 2.\)

Chọn  C.