Biết bất phương trình \({\log _5}\left( {{5^x} – 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} – 5} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Giá trị của \(a + b\) bằng

Điều kiện: \({5^x} – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _5}\left( {{5^x} – 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} – 5} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{5^x} – 1} \right).\dfrac{1}{2}{\log _5}\left[ {5\left( {{5^x} – 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{5^x} – 1} \right).\left[ {1 + {{\log }_5}\left( {{5^x} – 1} \right)} \right] – 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \log _5^2\left( {{5^x} – 1} \right) + {\log _5}\left( {{5^x} – 1} \right) – 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_5}\left( {{5^x} – 1} \right) – 1} \right]\left[ {{{\log }_5}\left( {{5^x} – 1} \right) + 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow  – 2 \le {\log _5}\left( {{5^x} – 1} \right) \le 1 \Leftrightarrow {5^{ – 2}} \le {5^x} – 1 \le {5^1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{25}} \le {5^x} – 1 \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{26}}{{25}} \le {5^x} \le 6 \Leftrightarrow {\log _5}\dfrac{{26}}{{25}} \le x \le {\log _5}6\end{array}\)

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {{{\log }_5}\dfrac{{26}}{{25}};{{\log }_5}6} \right] \Rightarrow a = {\log _5}\dfrac{{26}}{{25}};b = {\log _5}6\)

\( \Rightarrow a + b = {\log _5}\dfrac{{26}}{{25}} + {\log _5}6 = {\log _5}\dfrac{{156}}{{25}} = {\log _5}156 – {\log _5}25 = {\log _5}156 – 2\)

Chọn C.