Poloni \(_{84}^{210}Po\) phóng xạ α và biến đổi thành chì \({}_{82}^{206}Pb\) . Chu kỳ bán rã là 138 ngày. Cho rằng toàn bộ hạt nhân chì sinh ra trong quá trình phân rã đều có trong mẫu chất. Tại thời điểm t1 tỉ số giữa hạt nhân Poloni và hạt nhân chì có trong mẫu là \(\frac{1}{7}\) , tại thời điểm \({t_2} = {t_1} + \Delta t\) thì tỉ số đó là \(\frac{1}{{31}}\) . Khoảng thời gian ∆t là:

Phương trình phóng xạ: \({}_{84}^{210}Po \to {}_{82}^{206}Pb + {}_2^4He\)

Số hạt nhân mẹ còn lại sau thời gian t được xác định bởi: \(N = {N_0}{.2^{\dfrac{{ – t}}{T}}}\)

Số hạt nhân con được tạo thành sau thời gian t được xác định bởi:

\(N’ = {N_0} – N = {N_0}.(1 – {2^{\dfrac{{ – t}}{T}}})\)

Tại thời điểm t1 tỉ số giữa hạt nhân Poloni và hạt nhân chì có trong mẫu là \(\dfrac{1}{7}\) ta có:

\(\dfrac{{{N_{Po}}}}{{{N_{Pb}}}} = \dfrac{{{2^{\dfrac{{ – {t_1}}}{T}}}}}{{1 – {2^{\dfrac{{ – {t_1}}}{T}}}}} = \dfrac{1}{7} \Rightarrow {t_1} = 3T\)

Tại thời điểm \({t_2} = {t_1} + \Delta t\) thì tỉ số đó là \(\dfrac{1}{{31}}\) ta có :

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{N_{Po}}}}{{{N_{Pb}}}} = \dfrac{{{2^{\dfrac{{ – ({t_1} + \Delta t)}}{T}}}}}{{1 – {2^{^{\dfrac{{ – ({t_1} + \Delta t)}}{T}}}}}} = \dfrac{1}{{31}} \Rightarrow \dfrac{{{2^{\dfrac{{ – {t_1}}}{T}}}{{.2}^{\dfrac{{ – \Delta t}}{T}}}}}{{1 – {2^{\dfrac{{ – {t_1}}}{T}}}{{.2}^{\dfrac{{ – \Delta t}}{T}}}}} = \dfrac{{{2^{ – 3}}{{.2}^{\dfrac{{ – \Delta t}}{T}}}}}{{1 – {2^{ – 3}}{{.2}^{\dfrac{{ – \Delta t}}{T}}}}} = \dfrac{1}{{31}}\\ \Rightarrow {31.2^{ – 3}}{.2^{\dfrac{{ – \Delta t}}{T}}} = 1 – {2^{ – 3}}{.2^{\dfrac{{ – \Delta t}}{T}}} \Rightarrow {32.2^{ – 3}}{.2^{\dfrac{{ – \Delta t}}{T}}} = 1\\ \Rightarrow {2^{\dfrac{{ – \Delta t}}{T}}} = \dfrac{1}{4} = {2^{ – 2}} \Rightarrow \Delta t = 2T = 276\,\,\left( {ngay} \right)\end{array}\)

Chọn A.