Cho mạch điện như hình vẽ. Biết \(L = \frac{1}{\pi }\left( H \right),C = \frac{{{{2.10}^{ – 4}}}}{\pi }\left( F \right),{u_{AB}} = 200\cos 100\pi t\left( V \right)\). R phải có giá trị bằng bao nhiêu để công suất tỏa nhiệt trên R là lớn nhất? Tính công suất lớn nhất đó?

Dung kháng và cảm kháng: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{Z_L} = \omega L = 100\pi .\frac{1}{\pi } = 100\Omega }\\
{{Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} = \frac{1}{{100\pi .\frac{{{{2.10}^{ – 4}}}}{\pi }}} = 50\Omega }
\end{array}} \right.\)

Điện áp hiệu dụng: \(U = \frac{{{U_0}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{200}}{{\sqrt 2 }} = 100\sqrt 2 V\)

Công  suất tỏa nhiệt trên R: \({P_R} = {I^2}R = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} – {Z_C}} \right)}^2}}} = \frac{{{U^2}}}{{R + \frac{{{{\left( {{Z_L} – {Z_C}} \right)}^2}}}{R}}}\)

Để \({P_{R\max }} \Leftrightarrow {\left[ {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} – {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(R + \frac{{{{\left( {{Z_L} – {Z_C}} \right)}^2}}}{R} \ge 2.\sqrt {R.\frac{{{{\left( {{Z_L} – {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} = 2.\left| {{Z_L} – {Z_C}} \right|\)

\( \Rightarrow {\left( {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} – {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right)_{\min }} = 2.\left| {{Z_L} – {Z_C}} \right|\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = \frac{{{U^2}}}{{2.\left| {{Z_L} – {Z_C}} \right|}} = \frac{{{{\left( {100\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\left| {100 – 50} \right|}} = 200W\)

Dấu “=” xảy ra khi: \(R = \frac{{{{\left( {{Z_L} – {Z_C}} \right)}^2}}}{R} \Rightarrow R = \left| {{Z_L} – {Z_C}} \right| = \left| {100 – 50} \right| = 50\Omega \)